Polynomial (बहुपद) Class 9 Notes

अध्याय 2: बहुपद (Polynomials)

पिछला ज्ञान (कक्षा 8 की पुनरावृत्ति)

कक्षा 8 में, हमने बीजीय व्यंजकों (Algebraic Expressions) के बारे में पढ़ा है। एक बीजीय व्यंजक चर (variables) और अचर (constants) का संयोजन होता है जो जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसी संक्रियाओं से जुड़े होते हैं।

उदाहरण: \(2x + 5\), \(y^2 - 3y + 7\), और \(8a^3b\) सभी बीजीय व्यंजक हैं।

हमने यह भी सीखा कि कैसे इन व्यंजकों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जाता है। बहुपद इसी अवधारणा का एक विशेष और महत्वपूर्ण विस्तार है।

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कक्षा 9 - बहुपद का परिचय

बहुपद (Polynomial) क्या है?

एक चर (जैसे \(x\)) में एक बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक होता है जिसमें चर की घात केवल एक पूर्ण संख्या (whole number) होती है (जैसे 0, 1, 2, 3, ...)।

इसे सामान्य रूप में \(p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0\) लिखा जाता है, जहाँ \(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) वास्तविक संख्या गुणांक (coefficients) हैं और \(a_n \neq 0\)।

• पद (Term): बहुपद के हिस्से जो '+' या '-' से अलग होते हैं, पद कहलाते हैं। जैसे \(x^2 + 5x + 6\) में \(x^2\), \(5x\), और \(6\) पद हैं।
• गुणांक (Coefficient): प्रत्येक पद में चर के साथ गुणा की गई संख्या गुणांक कहलाती है। \(5x^2\) में, \(x^2\) का गुणांक 5 है।
• अचर बहुपद (Constant Polynomial): एक बहुपद जिसमें केवल एक पद होता है, जो एक अचर संख्या हो। जैसे \(p(x) = 7\)। इसकी घात 0 होती है।
• शून्य बहुपद (Zero Polynomial): अचर बहुपद 0 को शून्य बहुपद कहा जाता है। इसकी घात परिभाषित नहीं है (Not Defined)।

बहुपद की घात (Degree of a Polynomial)

एक चर वाले बहुपद में, चर की उच्चतम घात (highest power) को बहुपद की घात कहा जाता है।

• \(f(x) = 9x + 1\) में, \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) है।
• \(g(y) = 5y^2 - 3y + 2\) में, \(y\) की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial) है।
• \(h(z) = z^3 + 7z - 11\) में, \(z\) की उच्चतम घात 3 है, इसलिए यह त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) है।

बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial)

चर का वह मान, जिसे बहुपद में रखने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है, बहुपद का शून्यक कहलाता है।

यदि \(p(k) = 0\) है, तो \(k\) बहुपद \(p(x)\) का एक शून्यक है।

उदाहरण: यदि \(p(x) = x - 2\) है, तो \(p(2) = 2 - 2 = 0\)। अतः, 2 बहुपद \(p(x)\) का एक शून्यक है।

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महत्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems)

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem)

मान लीजिए \(p(x)\) एक या एक से अधिक घात वाला कोई बहुपद है और \(a\) कोई वास्तविक संख्या है। यदि \(p(x)\) को रैखिक बहुपद \(x - a\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल \(p(a)\) होता है।

प्रमाण (Proof):
मान लीजिए \(p(x)\) एक बहुपद है जिसकी घात 1 या उससे अधिक है। मान लीजिए जब \(p(x)\) को \(x-a\) से विभाजित किया जाता है, तो भागफल \(q(x)\) और शेषफल \(r(x)\) होता है।
विभाजन एल्गोरिथ्म से, हम जानते हैं: \[ p(x) = (x-a) \cdot q(x) + r(x) \] चूंकि भाजक \(x-a\) की घात 1 है, शेषफल \(r(x)\) की घात या तो 0 होगी या \(r(x) = 0\) होगा। इसका मतलब है कि \(r(x)\) एक अचर (constant) है। मान लीजिए \(r(x) = r\)। \[ p(x) = (x-a) \cdot q(x) + r \] अब, इस समीकरण में \(x = a\) रखने पर: \[ p(a) = (a-a) \cdot q(a) + r \] \[ p(a) = 0 \cdot q(a) + r \] \[ p(a) = r \] अतः, शेषफल \(p(a)\) के बराबर है। यही सिद्ध करना था।

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem)

यदि \(p(x)\) घात \(n \ge 1\) का एक बहुपद हो और \(a\) कोई वास्तविक संख्या हो, तो:

1. \(x - a\), \(p(x)\) का एक गुणनखंड होता है, यदि \(p(a) = 0\) हो।
2. \(p(a) = 0\) होता है, यदि \(x - a\), \(p(x)\) का एक गुणनखंड हो।

प्रमाण (Proof):
शेषफल प्रमेय से, हम जानते हैं \(p(x) = (x-a) \cdot q(x) + p(a)\)।

1. यदि \(p(a) = 0\):
तो, \(p(x) = (x-a) \cdot q(x) + 0\)। \[ p(x) = (x-a) \cdot q(x) \] इससे स्पष्ट है कि \((x-a)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड है।

2. यदि \((x-a)\), \(p(x)\) का एक गुणनखंड है:
तो, \(p(x)\) को \((x-a)\) से भाग देने पर शेषफल 0 होगा। अर्थात्, \(p(x) = (x-a) \cdot q(x)\) किसी बहुपद \(q(x)\) के लिए। अब \(x=a\) रखने पर: \[ p(a) = (a-a) \cdot q(a) = 0 \cdot q(a) = 0 \] अतः, \(p(a) = 0\)। यही सिद्ध करना था।

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बीजीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)

बहुपदों के गुणनखंड के लिए निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ बहुत उपयोगी हैं:

• \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
• \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
• \(x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)\)
• \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
• \((x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\)
• \((x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)\)
• \((x-y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y)\)
• \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)\)
• \(x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)\)
• \(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\)
• विशेष स्थिति: यदि \(x+y+z=0\), तो \(x^3+y^3+z^3 = 3xyz\)

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RD Sharma से अभ्यास प्रश्न (कठिन स्तर)

प्रश्न 1: यदि \(x = 2\) और \(x = 0\) बहुपद \(p(x) = 2x^3 - 5x^2 + ax + b\) के शून्यक हैं, तो \(a\) और \(b\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया बहुपद है \(p(x) = 2x^3 - 5x^2 + ax + b\)।
चूंकि \(x=2\) बहुपद का एक शून्यक है, इसलिए \(p(2) = 0\)। \[ p(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + a(2) + b = 0 \] \[ 2(8) - 5(4) + 2a + b = 0 \] \[ 16 - 20 + 2a + b = 0 \implies 2a + b = 4 \quad \dots(1) \] चूंकि \(x=0\) भी बहुपद का एक शून्यक है, इसलिए \(p(0) = 0\)। \[ p(0) = 2(0)^3 - 5(0)^2 + a(0) + b = 0 \implies b = 0 \] अब, \(b\) का मान समीकरण (1) में रखने पर: \[ 2a + 0 = 4 \implies a = 2 \] अतः, \(a = 2\) और \(b = 0\)।

प्रश्न 2: गुणनखंड प्रमेय का प्रयोग करके बहुपद \(f(x) = 2x^4 - 7x^3 - 13x^2 + 63x - 45\) का गुणनखंड कीजिए।

हल:

हम अचर पद (-45) के गुणनखंडों को रखकर शून्यक खोजने का प्रयास करते हैं।
चरण 1: \(x=1\) रखने पर, \(f(1) = 2 - 7 - 13 + 63 - 45 = 0\)। अतः, \((x-1)\) एक गुणनखंड है।
चरण 2: \(x=3\) रखने पर, \(f(3) = 2(81) - 7(27) - 13(9) + 63(3) - 45 = 162 - 189 - 117 + 189 - 45 = 0\)। अतः, \((x-3)\) भी एक गुणनखंड है।
चरण 3: चूँकि \((x-1)\) और \((x-3)\) गुणनखंड हैं, तो उनका गुणनफल \((x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3\) भी \(f(x)\) का गुणनखंड होगा।
चरण 4: \(f(x)\) को \(x^2 - 4x + 3\) से लंबा भाग (long division) देने पर हमें भागफल \(2x^2 + x - 15\) मिलता है।
चरण 5: अब, द्विघात बहुपद \(2x^2 + x - 15\) का गुणनखंड करते हैं: \[ 2x^2 + 6x - 5x - 15 = 2x(x+3) - 5(x+3) = (2x-5)(x+3) \] इस प्रकार, \(f(x)\) के सभी गुणनखंड हैं: \[ f(x) = (x-1)(x-3)(x+3)(2x-5) \]

प्रश्न 3: यदि \(a+b+c = 5\) और \(ab+bc+ca = 10\) है, तो सिद्ध कीजिए कि \(a^3+b^3+c^3-3abc = -25\)।

हल:

हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: \( a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - (ab+bc+ca)) \)
हमें \(a^2+b^2+c^2\) का मान ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)\)।
दिए गए मानों को रखने पर: \( (5)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(10) \implies 25 = a^2+b^2+c^2 + 20 \implies a^2+b^2+c^2 = 5 \)
अब, इस मान को मुख्य सर्वसमिका में रखने पर: \( a^3+b^3+c^3-3abc = (5)(5 - 10) = (5)(-5) = -25 \)। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4: यदि \(x + \frac{1}{x} = 6\) है, तो \(x^4 + \frac{1}{x^4}\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है: \(x + \frac{1}{x} = 6\)।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 6^2 \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) = 36 \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 36 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 34 \)
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: \( \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 34^2 \)
\( (x^2)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 + 2(x^2)\left(\frac{1}{x^2}\right) = 1156 \)
\( x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 = 1156 \)
\( x^4 + \frac{1}{x^4} = 1154 \)। अतः, उत्तर 1154 है।

प्रश्न 5: बहुपद \(p(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20\) का गुणनखंड कीजिए।

हल:

अचर पद 20 के गुणनखंड \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 \) हैं।
चरण 1: \(x=-1\) रखने पर, \(p(-1) = (-1)^3 + 13(-1)^2 + 32(-1) + 20 = -1 + 13 - 32 + 20 = 0\)।
अतः, गुणनखंड प्रमेय से \((x+1)\) एक गुणनखंड है।
चरण 2: अब \(p(x)\) को \((x+1)\) से लंबा भाग देने पर, हमें भागफल \(x^2 + 12x + 20\) मिलता है।
चरण 3: द्विघात बहुपद \(x^2 + 12x + 20\) का गुणनखंड करते हैं:
\(x^2 + 10x + 2x + 20 = x(x+10) + 2(x+10) = (x+2)(x+10)\)।
अतः, \(p(x)\) के गुणनखंड हैं: \( (x+1)(x+2)(x+10) \)।

प्रश्न 6: k का मान ज्ञात कीजिए यदि \((x-3)\) बहुपद \(k^2x^3 - kx^2 + 3kx - k\) का एक गुणनखंड है।

हल:

मान लीजिए \(p(x) = k^2x^3 - kx^2 + 3kx - k\)।
चूंकि \((x-3)\) एक गुणनखंड है, तो \(p(3) = 0\)।
\( p(3) = k^2(3)^3 - k(3)^2 + 3k(3) - k = 0 \)
\( 27k^2 - 9k + 9k - k = 0 \)
\( 27k^2 - k = 0 \)
\( k(27k - 1) = 0 \)
अतः, \(k=0\) या \(27k-1=0 \implies k = 1/27\)।
चूंकि यदि \(k=0\) होता तो बहुपद शून्य हो जाता, इसलिए सबसे उपयुक्त उत्तर \(k = 1/27\) है।

प्रश्न 7: यदि \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 27\) है, तो \(x - \frac{1}{x}\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

हम जानते हैं कि \( \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \)।
दिए गए मान को समीकरण में रखने पर:
\( \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 27 - 2 = 25 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{25} = \pm 5 \)
अतः, मान 5 या -5 हो सकता है।

प्रश्न 8: यदि \(x^2-1\) बहुपद \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) का एक गुणनखंड है, तो सिद्ध कीजिए कि \(a+c+e = b+d = 0\)।

हल:

मान लीजिए \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\)।
दिया है कि \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\) एक गुणनखंड है। इसका अर्थ है कि \((x-1)\) और \((x+1)\) दोनों \(p(x)\) के गुणनखंड हैं।
गुणनखंड प्रमेय से, \(p(1)=0\) और \(p(-1)=0\)।
स्थिति 1: \(p(1)=0\)
\( a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e = 0 \)
\( a + b + c + d + e = 0 \quad \dots(i) \)
स्थिति 2: \(p(-1)=0\)
\( a(-1)^4 + b(-1)^3 + c(-1)^2 + d(-1) + e = 0 \)
\( a - b + c - d + e = 0 \quad \dots(ii) \)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( 2a + 2c + 2e = 0 \implies 2(a+c+e) = 0 \implies a+c+e=0 \)
समीकरण (i) से (ii) को घटाने पर:
\( (a+b+c+d+e) - (a-b+c-d+e) = 0 \)
\( 2b + 2d = 0 \implies 2(b+d)=0 \implies b+d=0 \)
अतः, \(a+c+e = b+d = 0\)। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 9: \(x^3-23x^2+142x-120\) का गुणनखंड कीजिए।

हल:

मान लीजिए \(p(x) = x^3-23x^2+142x-120\)।
अचर पद -120 के गुणनखंडों की जाँच करते हैं। \(x=1\) रखने पर:
\(p(1) = 1-23+142-120 = 143-143=0\)। अतः, \((x-1)\) एक गुणनखंड है।
\(p(x)\) को \((x-1)\) से भाग देने पर, भागफल \(x^2-22x+120\) आता है।
अब, \(x^2-22x+120\) का गुणनखंड करते हैं:
\(x^2 - 12x - 10x + 120 = x(x-12) - 10(x-12) = (x-10)(x-12)\)।
अतः, गुणनखंड हैं: \( (x-1)(x-10)(x-12) \)।

प्रश्न 10: सर्वसमिका का उपयोग करके \(103 \times 107\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

हम \(103 \times 107\) को \((100+3)(100+7)\) लिख सकते हैं।
सर्वसमिका \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\) का प्रयोग करते हैं, जहाँ \(x=100, a=3, b=7\)।
\( (100+3)(100+7) = (100)^2 + (3+7)(100) + (3)(7) \)
\( = 10000 + (10)(100) + 21 \)
\( = 10000 + 1000 + 21 = 11021 \)
अतः, उत्तर 11021 है।

प्रश्न 11: यदि \(x - \frac{1}{x} = 4\) है, तो \(x^3 - \frac{1}{x^3}\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

हम सर्वसमिका \((a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)\) का उपयोग करते हैं।
यहाँ \(a=x\) और \(b=1/x\)।
\( \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right) \)
दिए गए मान \(x - \frac{1}{x} = 4\) को रखने पर:
\( (4)^3 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 3(4) \)
\( 64 = x^3 - \frac{1}{x^3} - 12 \)
\( x^3 - \frac{1}{x^3} = 64 + 12 = 76 \)
अतः, उत्तर 76 है।

प्रश्न 12: यदि \(x+y=12\) और \(xy=27\) है, तो \(x^3+y^3\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

हम सर्वसमिका \(x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)\) का उपयोग कर सकते हैं। या एक सरल रूप: \(x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)\)।
दिए गए मानों को रखने पर:
\( x^3+y^3 = (12)^3 - 3(27)(12) \)
\( = 1728 - 972 \)
\( = 756 \)
अतः, उत्तर 756 है।

प्रश्न 13: यदि बहुपद \(ax^3+3x^2-3\) और \(2x^3-5x+a\) को \(x-4\) से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है, तो \(a\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए \(p(x) = ax^3+3x^2-3\) और \(q(x) = 2x^3-5x+a\)।
शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब \(p(x)\) को \(x-4\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल \(p(4)\) होता है।
\( R_1 = p(4) = a(4)^3 + 3(4)^2 - 3 = 64a + 48 - 3 = 64a + 45 \)
इसी प्रकार, जब \(q(x)\) को \(x-4\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल \(q(4)\) होता है।
\( R_2 = q(4) = 2(4)^3 - 5(4) + a = 2(64) - 20 + a = 128 - 20 + a = 108 + a \)
प्रश्न के अनुसार, \(R_1 = R_2\)।
\( 64a + 45 = 108 + a \)
\( 64a - a = 108 - 45 \)
\( 63a = 63 \implies a = 1 \)
अतः, \(a\) का मान 1 है।

प्रश्न 14: \(8a^3 + b^3 + 12a^2b + 6ab^2\) का गुणनखंड कीजिए।

हल:

दिए गए व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3 \)
इसे \((2a)^3 + 3(2a)^2(b) + 3(2a)(b)^2 + (b)^3\) के रूप में लिखा जा सकता है।
यह \((x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\) सर्वसमिका के रूप में है, जहाँ \(x=2a\) और \(y=b\)।
अतः, इसका गुणनखंड \((2a+b)^3\) या \((2a+b)(2a+b)(2a+b)\) है।

प्रश्न 15: यदि \(a+b+c=0\) है, तो \(\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab}\) का मान क्या है?

हल:

व्यंजक का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर:
\( \frac{a^2(a) + b^2(b) + c^2(c)}{abc} = \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \)
हम जानते हैं कि यदि \(a+b+c=0\) हो, तो \(a^3+b^3+c^3 = 3abc\)।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
\( \frac{3abc}{abc} = 3 \)
अतः, मान 3 है।

प्रश्न 16: गुणनखंड करें: \(x^4 + 4y^4\)

हल:

इसे पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करेंगे।
\( x^4 + 4y^4 = (x^2)^2 + (2y^2)^2 \)
हम इसमें \(2(x^2)(2y^2) = 4x^2y^2\) जोड़ते और घटाते हैं।
\( = (x^2)^2 + (2y^2)^2 + 4x^2y^2 - 4x^2y^2 \)
\( = [(x^2)^2 + (2y^2)^2 + 4x^2y^2] - (2xy)^2 \)
\( = (x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2 \)
अब \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं।
\( = (x^2 + 2y^2 - 2xy)(x^2 + 2y^2 + 2xy) \)
अतः, गुणनखंड \((x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)\) है।

प्रश्न 17: यदि \(x=3+\sqrt{8}\) है, तो \(x^2+\frac{1}{x^2}\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया है \(x=3+\sqrt{8}\)।
तो, \(\frac{1}{x} = \frac{1}{3+\sqrt{8}}\)। हर का परिमेयकरण करने पर:
\( \frac{1}{x} = \frac{1}{3+\sqrt{8}} \times \frac{3-\sqrt{8}}{3-\sqrt{8}} = \frac{3-\sqrt{8}}{3^2 - (\sqrt{8})^2} = \frac{3-\sqrt{8}}{9-8} = 3-\sqrt{8} \)
अब, \(x+\frac{1}{x} = (3+\sqrt{8}) + (3-\sqrt{8}) = 6\)।
हम जानते हैं कि \(x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2\)।
\( = (6)^2 - 2 = 36 - 2 = 34 \)
अतः, मान 34 है।

प्रश्न 18: यदि \(p(x)=x^4-2x^3+3x^2-ax+b\) को \((x-1)\) से विभाजित करने पर शेषफल 5 और \((x+1)\) से विभाजित करने पर शेषफल 19 आता है, तो \(a\) और \(b\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

शेषफल प्रमेय से, \(p(1)=5\) और \(p(-1)=19\)।
स्थिति 1: \(p(1)=5\)
\( (1)^4-2(1)^3+3(1)^2-a(1)+b = 5 \)
\( 1-2+3-a+b = 5 \implies 2-a+b=5 \implies -a+b=3 \quad \dots(i) \)
स्थिति 2: \(p(-1)=19\)
\( (-1)^4-2(-1)^3+3(-1)^2-a(-1)+b = 19 \)
\( 1-2(-1)+3(1)+a+b = 19 \implies 1+2+3+a+b = 19 \implies 6+a+b=19 \implies a+b=13 \quad \dots(ii) \)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\( (-a+b) + (a+b) = 3+13 \implies 2b = 16 \implies b=8 \)
\(b\) का मान (ii) में रखने पर: \(a+8=13 \implies a=5\)।
अतः, \(a=5\) और \(b=8\)।

प्रश्न 19: \(27x^3 - y^3 - z^3 - 9xyz\) का गुणनखंड कीजिए।

हल:

व्यंजक को \(a^3+b^3+c^3-3abc\) के रूप में लिखते हैं।
\( (3x)^3 + (-y)^3 + (-z)^3 - 3(3x)(-y)(-z) \)
यहाँ \(a=3x, b=-y, c=-z\)।
सर्वसमिका \(a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\) का प्रयोग करने पर:
\( = (3x-y-z)((3x)^2+(-y)^2+(-z)^2 - (3x)(-y) - (-y)(-z) - (-z)(3x)) \)
\( = (3x-y-z)(9x^2+y^2+z^2 + 3xy - yz + 3zx) \)
यह इसका गुणनखंडित रूप है।

प्रश्न 20: यदि \(x, y, z\) भिन्न-भिन्न अशून्य संख्याएँ हैं और \(x+y+z=0\) है, तो \(\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{zx} + \frac{z^2}{xy}\) का मान क्या है?

हल:

यह प्रश्न 15 के समान है।
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर: \( \frac{x^3+y^3+z^3}{xyz} \)
चूंकि \(x+y+z=0\), तो \(x^3+y^3+z^3 = 3xyz\)।
मान रखने पर: \( \frac{3xyz}{xyz} = 3 \)
अतः, मान 3 है।

प्रश्न 21: सरल कीजिए: \((a+b+c)^2 + (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2\)

हल:

हम जानते हैं \((x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)।
1. \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
2. \((a-b+c)^2 = a^2+(-b)^2+c^2+2a(-b)+2(-b)c+2ca = a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca\)
3. \((a+b-c)^2 = a^2+b^2+(-c)^2+2ab+2b(-c)+2(-c)a = a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)
तीनों को जोड़ने पर:
\( (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) + (a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca) + (a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca) \)
\( = 3(a^2+b^2+c^2) + (2ab-2ab+2ab) + (2bc-2bc-2bc) + (2ca+2ca-2ca) \)
\( = 3(a^2+b^2+c^2) + 2ab - 2bc + 2ca \)
अतः, सरलीकृत रूप \(3(a^2+b^2+c^2) + 2ab - 2bc + 2ca\) है।

प्रश्न 22: यदि \(x^3+ax^2-bx+10\) बहुपद \((x^2-3x+2)\) से पूर्णतः विभाज्य है, तो \(a\) और \(b\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

भाजक \(x^2-3x+2 = x^2-2x-x+2 = x(x-2)-1(x-2) = (x-1)(x-2)\) है।
इसका अर्थ है कि \((x-1)\) और \((x-2)\) दोनों दिए गए बहुपद \(p(x)=x^3+ax^2-bx+10\) के गुणनखंड हैं।
अतः, \(p(1)=0\) और \(p(2)=0\)।
\(p(1)=0 \implies (1)^3+a(1)^2-b(1)+10 = 0 \implies 1+a-b+10 = 0 \implies a-b=-11 \quad \dots(i)\)
\(p(2)=0 \implies (2)^3+a(2)^2-b(2)+10 = 0 \implies 8+4a-2b+10 = 0 \implies 4a-2b=-18 \implies 2a-b=-9 \quad \dots(ii)\)
समीकरण (ii) से (i) को घटाने पर: \((2a-b)-(a-b) = -9 - (-11) \implies a=2\)।
\(a\) का मान (i) में रखने पर: \(2-b=-11 \implies b=13\)।
अतः, \(a=2\) और \(b=13\)।

प्रश्न 23: गुणनखंड करें: \(x^2 - 2\sqrt{3}x - 24\)

हल:

हमें दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल -24 हो और योग \(-2\sqrt{3}\) हो।
\(24 = 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{3}\)। संख्याएँ \( -4\sqrt{3} \) और \( 2\sqrt{3} \) हो सकती हैं।
योग: \(-4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}\)। गुणनफल: \(-4\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = -8 \times 3 = -24\)।
व्यंजक को लिखने पर:
\( x^2 - 4\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}x - 24 \)
\( = x(x - 4\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}(x - \frac{24}{2\sqrt{3}}) \)
\( \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \)
\( = x(x - 4\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}(x - 4\sqrt{3}) \)
\( = (x + 2\sqrt{3})(x - 4\sqrt{3}) \)
अतः, गुणनखंड \((x + 2\sqrt{3})(x - 4\sqrt{3})\) है।

प्रश्न 24: \(x\) का मान ज्ञात करें यदि \(5^{x-3} \cdot 3^{2x-8} = 225\)।

हल:

हम जानते हैं कि \(225 = 15^2 = (5 \times 3)^2 = 5^2 \times 3^2\)।
दिए गए समीकरण को लिखने पर:
\( 5^{x-3} \cdot 3^{2x-8} = 5^2 \cdot 3^2 \)
घातों की तुलना करने पर:
\( x-3 = 2 \implies x=5 \)
\( 2x-8 = 2 \implies 2x=10 \implies x=5 \)
दोनों स्थितियों से हमें समान मान मिलता है। अतः, \(x=5\)।

प्रश्न 25: यदि \(x=\frac{4}{3}\) बहुपद \(f(x) = 6x^3 - 11x^2 + kx - 20\) का एक शून्यक है, तो \(k\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

चूंकि \(x=\frac{4}{3}\) एक शून्यक है, तो \(f(\frac{4}{3})=0\)।
\( 6(\frac{4}{3})^3 - 11(\frac{4}{3})^2 + k(\frac{4}{3}) - 20 = 0 \)
\( 6(\frac{64}{27}) - 11(\frac{16}{9}) + \frac{4k}{3} - 20 = 0 \)
\( \frac{128}{9} - \frac{176}{9} + \frac{4k}{3} - 20 = 0 \)
\( \frac{128 - 176}{9} + \frac{4k}{3} - 20 = 0 \)
\( \frac{-48}{9} + \frac{4k}{3} - 20 = 0 \implies \frac{-16}{3} + \frac{4k}{3} - \frac{60}{3} = 0 \)
\( \frac{-16 + 4k - 60}{3} = 0 \implies 4k - 76 = 0 \)
\( 4k = 76 \implies k = 19 \)
अतः, \(k=19\)।

प्रश्न 26: गुणनखंड करें: \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)

हल:

मान लीजिए \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)।
\(x=1\) रखने पर: \(p(1) = 1-6+11-6 = 0\)। अतः, \((x-1)\) एक गुणनखंड है।
\(x=2\) रखने पर: \(p(2) = 8-24+22-6 = 0\)। अतः, \((x-2)\) एक गुणनखंड है।
\(x=3\) रखने पर: \(p(3) = 27-54+33-6 = 0\)। अतः, \((x-3)\) एक गुणनखंड है।
चूंकि यह एक त्रिघात बहुपद है, इसके तीन से अधिक रैखिक गुणनखंड नहीं हो सकते।
अतः, गुणनखंड हैं: \((x-1)(x-2)(x-3)\)।

प्रश्न 27: यदि \(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0\) है, तो सिद्ध कीजिए कि \(x=y=z\)।

हल:

दिए गए समीकरण को 2 से गुणा करने पर:
\( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0 \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0 \)
\( (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0 \)
यह तीन पूर्ण वर्गों का योग है। चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता, यह योग केवल तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक पद शून्य हो।
\( (x-y)^2 = 0 \implies x-y=0 \implies x=y \)
\( (y-z)^2 = 0 \implies y-z=0 \implies y=z \)
\( (z-x)^2 = 0 \implies z-x=0 \implies z=x \)
अतः, \(x=y=z\)। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 28: सरल करें: \( \frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

हल:

मान लीजिए \(x=a-b, y=b-c, z=c-a\)।
अब, \(x+y+z = (a-b)+(b-c)+(c-a) = 0\)।
हम जानते हैं कि यदि \(x+y+z=0\) हो, तो \(x^3+y^3+z^3 = 3xyz\)।
तो, \((a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)\)।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
\( \frac{3(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 3 \)
अतः, उत्तर 3 है।

प्रश्न 29: यदि बहुपद \(p(x) = x^{100} + 2x^{99} + k\) को \(x+1\) से विभाजित किया जाता है, तो k का मान ज्ञात कीजिए यदि शेषफल 0 है।

हल:

चूंकि बहुपद \(p(x)\) को \(x+1\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल प्रमेय के अनुसार शेषफल \(p(-1)\) होगा।
दिया गया है कि शेषफल 0 है, अतः \(p(-1)=0\)।
\( p(-1) = (-1)^{100} + 2(-1)^{99} + k = 0 \)
चूंकि 100 एक सम संख्या है, \((-1)^{100}=1\)।
चूंकि 99 एक विषम संख्या है, \((-1)^{99}=-1\)।
\( 1 + 2(-1) + k = 0 \)
\( 1 - 2 + k = 0 \implies -1 + k = 0 \)
\( k = 1 \)
अतः, \(k=1\)।

प्रश्न 30: गुणनखंड करें: \(x^{12} - y^{12}\)

हल:

हम इसे कई तरीकों से कर सकते हैं। \(a^2-b^2\) का उपयोग करते हुए:
\( x^{12} - y^{12} = (x^6)^2 - (y^6)^2 = (x^6 - y^6)(x^6 + y^6) \)
अब दोनों भागों का गुणनखंड करते हैं:
भाग 1: \(x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3-y^3)(x^3+y^3)\)
\( = (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2) \)
भाग 2: \(x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3\)
\( = (x^2+y^2)((x^2)^2 - x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4) \)
सभी गुणनखंडों को एक साथ रखने पर:
\( (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4) \)

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