Determinat Notes in Hindi by Abhinav Sir

कक्षा 12 गणित अध्याय 4 - निर्धारक (Determinants) संशोधन नोट्स

Abhinav Sir द्वारा प्रदान किया गया

रैखिक समीकरणों का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

जब हमें बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली दी जाती है जैसे:

\[ a_1 x + b_1 y = c_1 \] \[ a_2 x + b_2 y = c_2 \]

तो हम उन्हें मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

\[\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}\]

रैखिक समीकरणों की प्रणाली का हल प्राप्त करने के लिए, हम उन सभी चरों के मान ज्ञात करते हैं जो प्रणाली में सभी रैखिक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

निर्धारकों की परिभाषा

• हम एक मैट्रिक्स के निर्धारक को एक स्केलर मान के रूप में परिभाषित कर सकते हैं जो एक वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों से गणना किया जा सकता है।
• एक वर्ग मैट्रिक्स \(\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\) के लिए स्केलर मान \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) द्वारा दिया जाता है।
• यह \(|A|\) या \(\det(A)\) या \(\Delta\) के रूप में दर्शाया जाता है।
• एक मैट्रिक्स \(\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\) के लिए, निर्धारक इस प्रकार लिखा जाता है \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\)।
• वर्ग मैट्रिक्स वे मैट्रिक्स हैं जिनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। केवल ऐसे मैट्रिक्स के निर्धारक होते हैं।

निर्धारकों के प्रकार

1. प्रथम क्रम निर्धारक - यह एक क्रम की मैट्रिक्स का निर्धारक है। मैट्रिक्स का तत्व निर्धारक मान होगा। उदाहरण के लिए, \(\begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2\)
2. द्वितीय क्रम निर्धारक - यह दो क्रम की मैट्रिक्स का निर्धारक है। यदि \(\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\), तो \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1\)。 उदाहरण के लिए, \(\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (3)(5) = 3 - 15 = -12\)
3. तृतीय क्रम निर्धारक - यह तीन क्रम की मैट्रिक्स का निर्धारक है। हमें विचार करें \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\)।

हमारे पास निर्धारक लिखने के छह तरीके हैं, अर्थात् पंक्तियों के साथ विस्तार के तीन तरीके और स्तंभों के साथ तीन तरीके।

आइए हम प्रथम पंक्ति के साथ विस्तार पर विचार करें, जो सबसे सामान्य विधि है।

तो, पहले हम प्रथम तत्व \(a_{11}\) पर विचार करते हैं और पंक्ति 1 और स्तंभ 1 को हटा देते हैं। हम एक द्वितीय क्रम मैट्रिक्स के साथ समाप्त होते हैं और इसलिए हम इसके लिए निर्धारक लागू करते हैं और \(a_{11}\) से गुणा करते हैं और साथ ही \( (-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1 \), यहां गुणांकों का योग \(i + j\) का योग दर्शाता है तत्व \(a_{ij}\) के लिए।

\[ a_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 (b_2 c_3 - b_3 c_2) \]

फिर हम तत्व \(a_{12}\) पर जाते हैं और पंक्ति 1 और स्तंभ 2 को हटा देते हैं। फिर से, हम एक द्वितीय क्रम मैट्रिक्स के साथ समाप्त होते हैं और इसलिए हम इसके लिए निर्धारक लागू करते हैं और \(a_{12}\) से गुणा करते हैं और साथ ही \( (-1)^{1+2} = (-1)^3 = -1 \).

\[ -b_1 \begin{vmatrix} a_2 & c_2 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} = -b_1 (a_2 c_3 - a_3 c_2) \]

अंत में, हम तत्व \(a_{13}\) पर जाते हैं और पंक्ति 1 और स्तंभ 3 को हटा देते हैं।

फिर से, हम एक द्वितीय क्रम मैट्रिक्स के साथ समाप्त होते हैं और इसलिए हम इसके लिए निर्धारक लागू करते हैं और \(a_{13}\) से गुणा करते हैं और साथ ही \( (-1)^{1+3} = (-1)^4 = 1 \).

\[ c_1 \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} = c_1 (a_2 b_3 - a_3 b_2) \]

अब, हम उन्हें जोड़कर मैट्रिक्स \(\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\) का निर्धारक प्राप्त करते हैं \( a_1 (b_2 c_3 - b_3 c_2) - b_1 (a_2 c_3 - a_3 c_2) + c_1 (a_2 b_3 - a_3 b_2) \).

उसी प्रकार, हम अन्य पंक्तियों और स्तंभों के साथ विस्तार कर सकते हैं। हमें निर्धारक का समान मान मिलेगा चाहे हम किसी भी प्रकार के विस्तार का विकल्प चुनें।

विस्तार विधि चुनते समय ध्यान में रखने के लिए एक टिप यह होगी कि अधिकतम शून्यों वाली पंक्ति या स्तंभ का चयन करें। यदि शून्य मौजूद नहीं हैं, तो एक। इससे गणनाएं आसान हो जाएंगी।

एक अन्य रोचक बिंदु ध्यान में रखने के लिए यह है कि यदि हमारे पास दो वर्ग मैट्रिक्स A और B क्रम n के हैं और A = kB, तो |A| = k^n |B|, जहां n = 1,2,3,....।

निर्धारकों के गुण

नीचे दिए गए गुण सभी क्रमों के निर्धारकों के लिए सत्य हैं।

1. गुण 1 - निर्धारक का मान अपरिवर्तित रहता है यदि इसकी पंक्तियां और स्तंभ आपस में बदल दिए जाएं। आइए एक उदाहरण की मदद से सत्यापित करें,
\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(12 - 2) - 2(9 - 1) + 1(6 - 4) = 10 - 16 + 2 = -4 \]

पंक्तियां और स्तंभ बदलने पर, हमें मिलता है

\[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(12 - 2) - 3(6 - 2) + 1(2 - 4) = 10 - 12 - 2 = -4 \]

इसलिए सत्यापित।

2. यह ऊपर दिए गए गुण से अनुसरण करता है कि यदि A एक वर्ग मैट्रिक्स है, तो det(A) = det(A')। यहां A' A का ट्रांसपोज है।
3. पंक्ति और स्तंभों के आपसी बदलाव के लिए, कहें iवीं पंक्ति और iवें स्तंभ, हम इसे प्रतीकात्मक रूप से R_i ↔ C_i के रूप में दर्शाते हैं।
4. गुण 2 - यदि निर्धारक की कोई दो पंक्तियां (या स्तंभ) आपस में बदल दी जाएं, तो निर्धारक का चिह्न बदल जाता है। आइए एक उदाहरण की मदद से सत्यापित करें,
\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = -4 \]

प्रथम और द्वितीय पंक्तियां बदलने पर, हमें मिलता है

\[ \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 3(6 - 2) - 4(3 - 1) + 1(2 - 2) = 12 - 8 + 0 = 4 \]

इसलिए सत्यापित।

5. दो पंक्तियों/स्तंभों के आपसी बदलाव के लिए, कहें R_i और R_j पंक्तियां या C_i और C_j स्तंभ, हम इसे प्रतीकात्मक रूप से R_i ↔ R_j या C_i ↔ C_j के रूप में दर्शाते हैं।
6. गुण 3 - यदि निर्धारक की कोई दो पंक्तियां (या स्तंभ) समान (सभी अनुरूप तत्व समान) हैं, तो निर्धारक का मान शून्य है। आइए एक उदाहरण की मदद से सत्यापित करें,
\[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(4 - 6) - 3(3 - 3) + 1(6 - 4) = -2 + 0 + 2 = 0 \]

इसलिए सत्यापित।

7. गुण 4 - यदि निर्धारक की एक पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक तत्व को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाए, तो इसका मान k से गुणा हो जाता है। आइए एक उदाहरण की मदद से सत्यापित करें,
\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(3 - 6) - 2(3 - 3) + 3(2 - 1) = -3 + 0 + 3 = 0? गलती, सही गणना -2 \]

अब, समान निर्धारक की प्रथम पंक्ति को स्थिरांक 2 से गुणा किया जाता है

\[ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 - 6) - 4(1 - 3) + 6(2 - 3) = -6 + 8 - 6 = -4 \]

जो 2 × (-2) है।

इसलिए सत्यापित।

8. गुण 5 - यदि निर्धारक की एक पंक्ति या स्तंभ के कुछ या सभी तत्व दो (या अधिक) पदों के योग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, तो निर्धारक को दो (या अधिक) निर्धारकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण की मदद से सत्यापित करें,
\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \]

अब, हम समान निर्धारक की प्रथम पंक्ति के पदों में पद जोड़ते हैं और मिलता है

\[ \begin{vmatrix} 2+1 & 2+2 & 1+3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -5 \]

इस निर्धारक का मान

\[ \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 + (-2) = -5 \]

इसलिए सत्यापित।

9. गुण 6 - यदि, निर्धारक की किसी पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक तत्व में, अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के अनुरूप तत्वों के समान गुणक जोड़े जाते हैं, तो निर्धारक का मान समान रहता है, अर्थात्, निर्धारक का मान समान रहता है यदि हम ऑपरेशन R_i → R_i + k R_j या C_i → C_i + k C_j लागू करते हैं। आइए एक उदाहरण की मदद से सत्यापित करें,
\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \]

अब, हम समान निर्धारक की प्रथम पंक्ति के पदों में तृतीय पंक्ति का गुणक पद जोड़ते हैं और मिलता है

\[ \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2+2 & 2+4 & 1+2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \] गलती, सही तरीके से।

गुण 5 का उपयोग करके, यह व्यक्त किया जा सकता है

दूसरा निर्धारक शून्य होगा क्योंकि पहली और तीसरी पंक्ति अनुपातिक हैं।

इसलिए सत्यापित।

10. गुण 7 - यदि निर्धारक की एक पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक तत्व शून्य है, तो इसका मान शून्य है। उदाहरण के लिए,
\[ \begin{vmatrix} 0 & 12 & -7 \\ 0 & 8 & 1 \\ 0 & -5 & 13 \end{vmatrix} \]

यदि हम इसे प्रथम स्तंभ के साथ विस्तार करें, तो मान शून्य होगा।

11. गुण 8 - एक निर्धारक में, यदि मुख्य विकर्ण के एक पक्ष के सभी तत्व शून्य हैं, तो निर्धारक का मान मुख्य विकर्ण में तत्वों के गुणनफल के बराबर है। उदाहरण के लिए, निर्धारक
\[ \begin{vmatrix} 3 & -3 & 2 \\ 0 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \times 8 \times 1 = 24 \]

(वर्तमान पाठ्यक्रम में नहीं)

त्रिभुज का क्षेत्रफल

• एक त्रिभुज पर विचार करें जिसके शीर्ष (x_1, y_1), (x_2, y_2) और (x_3, y_3) हैं। हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल
\[ A = \frac{1}{2} [x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)] \]
• हम इसे निर्धारकों का उपयोग करके इस प्रकार दर्शा सकते हैं \(\Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)।
• क्षेत्रफल की गणना करते समय हम हमेशा निर्धारक का निरपेक्ष मान लेते हैं क्योंकि यह एक धनात्मक मात्रा है।
• यदि क्षेत्रफल दिया गया है, तो हम निर्धारक के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों का उपयोग करते हैं।
• हम जानते हैं कि तीन सह-रेखीय बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते और इसलिए हम कह सकते हैं कि तीन सह-रेखीय बिंदुओं द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है।

माइनर

यदि हम निर्धारक की iवीं पंक्ति और jवें स्तंभ को हटा दें जिसमें तत्व a_ij स्थित है, तो हमें उस तत्व का माइनर मिलता है।

• माइनर M_ij के रूप में दर्शाया जाता है।
• क्रम n (n≥2) के निर्धारक के तत्व का माइनर क्रम n-1 का निर्धारक है।
• यदि हमें निर्धारक \(\begin{vmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}\) का M_21 ज्ञात करना है, तो हमें मिलता है M_21 = \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -4।

कोफैक्टर

• हम तत्व a_ij के कोफैक्टर को A_ij के रूप में दर्शाते हैं।
• एक तत्व के माइनर को फैक्टर (-1)^{i+j} से गुणा करने पर कोफैक्टर मिलता है।
• यह A_ij = (-1)^{i+j} M_ij के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां M_ij a_ij का माइनर है।
• जब एक पंक्ति/स्तंभ के तत्वों को किसी अन्य पंक्ति/स्तंभ के कोफैक्टर से गुणा किया जाता है, तो उनका योग शून्य होता है।
• यदि हमें निर्धारक \(\begin{vmatrix} 1 & -4 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}\) का A_11 ज्ञात करना है, तो हमें मिलता है A_11 = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 5 - 6 = -1।

मैट्रिक्स का एडजॉइंट

• दिए गए मैट्रिक्स के कोफैक्टर मैट्रिक्स का ट्रांसपोज लेने के बाद प्राप्त मैट्रिक्स को उस मैट्रिक्स का एडजॉइंट कहा जाता है।
• उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास कोफैक्टर मैट्रिक्स \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\) है, तो एडजॉइंट \(\begin{bmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{bmatrix}\) होगा।
• दो क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए, हम निम्नलिखित शॉर्टकट का उपयोग कर सकते हैं:

adj A = \[\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

प्रमेय 1 - यदि A क्रम n का कोई दिया गया वर्ग मैट्रिक्स हो, तो A (adj A) = (adj A) A = |A| I, जहां I क्रम n का एकत्व मैट्रिक्स है।

यदि हमारे पास मैट्रिक्स \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) और इसका एडजॉइंट \(\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\) है, तो हम कह सकते हैं कि एक पंक्ति/स्तंभ के तत्वों के गुणनफल का योग अनुरूप कोफैक्टर से |A| और अन्यथा शून्य के बराबर है। इसलिए, हम लिख सकते हैं,

A (adj A) = \[\begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix} = |A| I\]

सिंगुलर मैट्रिक्स - यदि एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है, तो इसे सिंगुलर मैट्रिक्स कहा जाता है।

नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स - यदि एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य मान है, तो इसे नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स कहा जाता है।

प्रमेय 2 - यदि A और B समान क्रम के नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स हैं, तो AB और BA भी समान क्रम के नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स हैं।

प्रमेय 3 - मैट्रिक्स के गुणनफल का निर्धारक उनके संबंधित निर्धारकों के गुणनफल के बराबर है। इसे |AB| = |A| |B| के रूप में लिखा जा सकता है, जहां A और B समान क्रम के वर्ग मैट्रिक्स हैं।

यह नीचे दिखाए अनुसार सत्यापित किया जा सकता है:

प्रमेय 1 से, हम A (adj A) = \[\begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix}\]

अब दोनों पक्षों पर मैट्रिक्स का निर्धारक मान लेते हुए,

|A (adj A)| = |A|

यह सामान्य निष्कर्ष की ओर ले जाता है कि यदि A क्रम n का वर्ग मैट्रिक्स है, तो |adj A| = |A|^{n-1}।

प्रमेय 4 - एक वर्ग मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि यह एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स है।

तो, एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स A के लिए, हम मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को A^{-1} = (1/|A|) adj A के रूप में लिख सकते हैं।

प्रूफ में देखते हुए,

A को क्रम n का व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स मानें। I को क्रम n का एकत्व मैट्रिक्स मानें। तब, क्रम n का एक वर्ग मैट्रिक्स B मौजूद है जैसे कि AB = BA = I।

तो, हम |AB| = |I| लिख सकते हैं। हम |AB| = |A| |B| लिख सकते हैं। चूंकि |I| = 1, |AB| = |A| |B| = 1।

यह |A| ≠ 0 देता है और इसलिए A नॉन-सिंगुलर है।

उल्टे रूप से, यदि हम A को नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स मानें, तो |A| ≠ 0।

प्रमेय 1 से, A (adj A) = (adj A) A = |A| I। पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हुए,

(1/|A|) A (adj A) = (1/|A|) (adj A) A = I

यह AB = BA = I के समान है।

तो, यहां B = (1/|A|) adj A, जो मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम है।

निर्धारकों और मैट्रिक्स के अनुप्रयोग

• वे दो या तीन चरों में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोग किए जा सकते हैं। वे रैखिक समीकरणों की प्रणाली की संगति की जांच के लिए भी उपयोग किए जा सकते हैं।
• संगत प्रणाली वह समीकरणों की प्रणाली है जिसका हल (एक या अधिक) मौजूद है।
• असंगत प्रणाली वह समीकरणों की प्रणाली है जिसका हल मौजूद नहीं है।
• हम कह सकते हैं कि निर्धारक एक संख्या है जो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के हल की अद्वितीयता निर्धारित करती है।

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली का हल

आइए हम तीन चरों वाली समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

\[ a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \] \[ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \] \[ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \]

इसे मैट्रिक्स रूप में लिखते हुए, हमारे पास

\[\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}\]

यह AX = B के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

• अब, हम दो मामलों पर नजर डालते हैं:
• मामला 1: यदि A एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स है, तो इसका व्युत्क्रम मौजूद है।

AX = B से, हम A^{-1} से पूर्व-गुणा करते हैं,

A^{-1} AX = A^{-1} B

सहयोगी गुण का उपयोग करके,

(A^{-1} A) X = A^{-1} B
I X = A^{-1} B
X = A^{-1} B

ऊपर का मैट्रिक्स समीकरण समीकरणों की प्रणाली के लिए एक अद्वितीय हल प्रदान करता है क्योंकि हम जानते हैं कि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम अद्वितीय है। हम इस विधि को मैट्रिक्स विधि कहते हैं।

• मामला 2: यदि A एक सिंगुलर मैट्रिक्स है, तो |A| = 0।

इस मामले के लिए, पहले हम (adj A) B की गणना करते हैं।

यदि (adj A) B एक गैर-शून्य मैट्रिक्स है, तो हल मौजूद नहीं है, और समीकरणों की प्रणाली को असंगत कहा जाता है।

यदि (adj A) B एक शून्य मैट्रिक्स है, तो समीकरणों की प्रणाली या तो संगत (अनंत हलों के साथ) या असंगत (कोई हल नहीं) हो सकती है।